^ 3.12. Поверхности второго порядка. Сфера* Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат 0xyz. Поверхность называется поверхностью второго порядка, если она задается уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z. Сферой называется множество точек в пространстве, удаленных от данной точки (называемой центром) на одно и то же расстояние (называемое радиусом). Выведем уравнение сферы. Пусть S(a, b, с) центр сферы, R радиус сферы, М(х, у, z) произвольная точка сферы. По определению сферы . Так как , то получаем: . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, имеем: уравнение сферы с центром в точке S(a, b, c) и радиусом R. Если центр совпадает с началом координат 0(0, 0, 0), то получаем каноническое уравнение сферы. ^ 3.13. Цилиндрические поверхности* Цилиндрической поверхностью называется множество всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l. Линия L называется направляющей для цилиндрической поверхности, а прямые, составляющие ее (параллельные прямой l), называются ее образующими (рис. 3.28). Зададим в пространстве систему координат 0хуz, направляющую линию L будем располагать в одной из координатных плоскостей (например, в плоскости 0ху), а образующие направим параллельно оси координат, которая перпендикулярна этой плоскости (ось 0z). Пусть в плоскости 0ху задана линия L с уравнением F(x, y) = 0 (рис. 3.29). Построим цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными 0z. Покажем, что эта цилиндрическая поверхность задается тем же уравнением F(x, y) = 0, что и направляющая линия L, если точки рассматривать в пространстве. Пусть М(x, у, z) произвольная точка цилиндрической поверхности, а М0 ее проекция на плоскость 0ху, она является точкой пересечения L и образующей, проходящей через М, поэтому точки М и М0 имеют одну и ту же абсциссу х, одну и ту же ординату у. Поскольку М0 лежит на линии L, то ее координаты х, у удовлетворяют уравнению F(x, у) = 0, поэтому и координаты точки М(х, у, z) также удовлетворяют этому уравнению (ведь z в нем не встречается). Координаты всякой точки, не лежащей на данной цилиндрической поверхности, не будут удовлетворять уравнению F(x, у) = 0, так как эти точки не будут проецироваться на линию L. Итак, данная цилиндрическая поверхность в пространстве задается уравнением: F(x, у) = 0 (как и ее направляющая L в плоскости 0ху). В пространстве 0xyz линия L будет задаваться системой уравнений: Нас интересуют цилиндрические поверхности второго порядка, следовательно, их направляющими будут: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Сами поверхности будут называться соответственно: круговым цилиндром, эллиптическим цилиндром, гиперболическим цилиндром и параболическим цилиндром. Примеры цилиндрических поверхностей: 1) Направляющая ^ L в плоскости 0ху имеет уравнение , т.е. является окружностью, образующие параллельны 0z. Имеем круговой цилиндр (рис. 3.30). 2) Направляющая линия L эллипс в плоскости 0xz с уравнением , образующие параллельны оси 0у. Имеем эллиптический цилиндр (рис. 3.31). 3) Гиперболический цилиндр, заданный уравнением , имеет направляющей линией гиперболу в плоскости 0yz с действительной полуосью и мнимой полуосью . Образующие параллельны оси 0х (рис. 3.32). 4) Для параболического цилиндра (рис. 3.33) направляющей линией является парабола: , лежащая в плоскости 0yz, его образующие параллельны оси 0х. ^ 3.14. Конические поверхности* Конической поверхностью называется множество прямых, проходящих через данную точку Р и пересекающих данную линию L. Точка Р называется вершиной, линия L направляющей, а прямые образующими конической поверхности (рис. 3.34). Рассмотрим коническую поверхность второго порядка, у которой вершиной будет служить начало координат 0(0, 0, 0), а в качестве направляющей L будет эллипс, расположенный в плоскости , параллельной плоскости 0ху и отстоящей от нее на расстоянии с (рис. 3.35). Такой эллипс задается системой: (3.23) Выведем уравнение этой конической поверхности. Пусть М(х, у, z) произвольная точка поверхности, М0(х0, у0, z0) точка пересечения эллипса с образующей ОМ. Координаты точки М0 удовлетворяют системе (3.23), поэтому (3.24) Запишем уравнения прямой ОМ0: Выразим из этих уравнений х0 и у0: , отсюда получаем . Подставим найденные значения х0, у0 в равенство (3.24): Умножим последнее равенство на : (3.25) Уравнение (3.25) является уравнением конуса второго порядка. В частности, если , то имеем круговой конус, который задается уравнением: 3.15. Эллипсоиды* Эллипсоидом называется поверхность, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением (3.26) Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида. Выясним форму эллипсоида. Поскольку текущие переменные х, у, z входят в уравнение (3.26) в четных степенях, эллипсоид симметричен относительно каждой координатной плоскости. Рассмотрим сечение эллипсоида координатными плоскостями. Плоскость 0ху имеет уравнение , поэтому сечение эллипсоида плоскостью 0ху задается системой уравнений: откуда имеем (3.27) Система (3.27) показывает, что плоскость 0ху пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а, b. Аналогично для плоскостей 0yz, 0xz соответственно получаем в сечении эллипсы: Можно показать, что любая плоскость, параллельная координатной плоскости, пересекает эллипсоид по некоторому эллипсу. Общий вид эллипсоида представлен на рис. 3.36. 3.16. Гиперболоиды* Однополостным гиперболоидом называется поверхность, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением (3.28) Эта поверхность имеет три плоскости симметрии (координатные плоскости). Выясним, какую форму имеет однополостный гиперболоид, для этого рассмотрим сечения его координатными плоскостями. В плоскости 0yz получаем: (3.29) гиперболу с действительной полуосью
Лекции - Линейная алгебра и геометрия (1 стр.) (1 стр.) (7 стр.) (1 стр.) 7
3.12. Поверхности второго порядка. Сфера* - Лекции - Линейная алгебра и геометрия
Комментариев нет:
Отправить комментарий